Golden State Warriors efsanesi gerçekten de arka arkaya beş tam saha şutu sokabilir mi? Birkaç hafta önce Sports Illustrated, Golden State Warriors oyun kurucusu Steph Curry’nin anında viral olan bu videosunu tweetledi. Videoda Curry sahanın uzak tarafından potaya bir şut atıyor. Top içeri giriyor. Tamam, buna inanabilirim. O ünlü bir şutör. Ama sonra dönüp başka bir top alıyor ve bir atış daha yapıyor… ve başarıyor. Ve sonra tekrar. Ve bir daha. Ve beşinci kez!

Just finished a shoot with @stephencurry30, this dude just can’t miss 😳🔥

🎥 @ari_fararooy@warriors pic.twitter.com/fwjhTjz33E

— Sports Illustrated (@SInow) December 5, 2022

Peki bu gerçek mi yoksa sahte mi? Bunu öğrenmek için istatistik ve fiziği kullanalım.

Temel Olasılık

Fizikçiler genellikle bir problemin en karmaşık versiyonuna doğrudan atlamazlar. Bunun yerine, genellikle “zarf arkası” (üstün körü/bakkal hesabı) hesaplaması olarak adlandırılan kaba bir tahmin yaparlar. Öyleyse arka arkaya beş tam saha atışı yapma olasılığı hakkında bazı tahminler yapalım.

Evde deneyebileceğiniz basit bir deneyle başlayabiliriz – sadece bir bozuk paraya ihtiyacınız var. Bir tahminde bulunun: Yazı mı tura mı gelecek? Psişik güçleriniz yoksa, doğru tahmin etme şansınız yüzde 50 olacaktır. Bunu 1’in bir kesri olarak düşünmek en iyisidir, yani bu 0,5 değerinde bir başarı olasılığı olacaktır.

Peki ya arka arkaya iki yazı tura atışının sonucunu tahmin etmek istiyorsanız? Bu durumda, ilk yazı tura için 0,5 ve ikinci yazı tura için 0,5’lik bir olasılığa sahip olursunuz. Toplam olasılık bu ikisinin çarpımıdır: 0,5 × 0,5 = 0,25. Bu da dörtte bir doğru yapma şansı demektir. Bu mantıklı, çünkü dört olası yazı tura sonucu var: YY, YT, TY, TT.

Peki ya arka arkaya beş çevirme tahmin etmek isteseydiniz? Bu (0.5)^5 = 0.031 olurdu. Tüm sonuçları doğru tahmin etmek için sadece yüzde 3 şansınız var.

Bunun nereye gittiğini anlıyor musunuz? Aynı fikri basketbola da uygulayabiliriz. Steph Curry’nin tam saha şut atma şansının yüzde 50-50 olduğunu varsayalım (ki bu zaten inanılmaz olurdu). Eğer bu doğru olsaydı, arka arkaya beş atış yapma şansı %3 olurdu. Bu aslında çok da kötü değil. Eğer viral bir video yapmak istiyorsanız, arka arkaya beş tane atana kadar topları fırlatmaya devam edebilirsiniz. Tüm gününüzü alabilir ama bu mümkün olabilir.

Ancak, bir atış için daha düşük bir başarı şansı varsayarsanız durum çok daha kötüleşir. Ya bu tam saha atışların 20’sinden sadece 1’ini isabet ettirebilirseniz? (Bu 0,05 olur.) Bu durumda, arka arkaya beş atış yapma şansınız yüzde 0,00003 olur. Bu konuda iyi şanslar.

Ya da şuna ne dersiniz? Curry beş atış yapıyor. Ya beşini de arka arkaya atma şansı yüzde 50 ise? (0.87)5 = 0.5 elde etmek için atış başına 0.87’lik bir isabet olasılığına ihtiyacı olacaktır. Bunu, oyuncu çembere çok daha yakın durduğu için çok daha kolay olan serbest atış atışı yapma olasılığı olan 0,7 ile 0,8 arasında bir değerle karşılaştırın.

Mermi Hareketi ve Hava Direnci

Bu tam saha atışının zorluğunu gerçekten keşfedebilmek için bir fizik modeli oluşturmamız gerekiyor. İlk bakışta bu, fiziğe giriş ders kitabının 4. bölümünden alınmış basit bir mermi hareketi problemi olabilir.

Mermi hareketinde bir nesnenin tek bir etkileşimi vardır: Dünya ile olan yerçekimi etkileşimi. Nesneyi ancak Curry’nin elini terk ettikten sonra ve çembere ya da ağa çarpmadan önce bir mermi olarak kabul ettiğimizi unutmayın. Mermi hareketinin güzel yanı, top havadayken yatay hızının sabit olması ve dikey yöndeki ivmenin saniyede -9,8 metre olmasıdır. Bununla birlikte, bir nesnenin ilk hızı göz önüne alındığında nereye ineceğini bulmak çok zor değildir. Ama burada istediğimiz bu değil. Bunun yerine, topun ne kadar uzağa gitmesi gerektiğini biliyoruz ve fırlatma hızını bulmamız gerekiyor. Bu daha zor bir problem.

Yine, zor bir şeyle karşılaştığımızda, o problemin daha basit bir versiyonuyla başlamak yardımcı olur. Topun 30 derecelik bir açıyla fırlatıldığını (videodan kabaca bir tahmin) ve çemberle aynı hizada olduğunu varsayalım, böylece sola veya sağa ıskalamayacaktır. Daha sonra topun başlangıç hızını seçebilir ve sahanın diğer tarafından sayı yapıp yapamayacağını görebiliriz. (Sanırım bu üç sayılık atış olarak sayılır.) Bununla, saniyede 17,7 metre (m/s) olarak hesaplanmış bir top hızına sahibim.

Peki fırlatılan bir basketbol topunu sadece mermi hareketiyle modelleyebilir misiniz? Önceki hesaplamada göz ardı edilen bariz bir faktör var: hava. Top havada hareket ederken, genellikle “hava sürtünmesi” olarak adlandırdığımız geriye doğru itici bir kuvvetle karşılaşır. Bu, elinizi hareket halindeki bir arabanın camından dışarı uzattığınızda hissettiğiniz kuvvetle aynıdır. Bu kuvvet, elinizin boyutu, şekli ve havanın yoğunluğu gibi birçok şeye bağlıdır, ancak en önemlisi bu kuvvetin nesnenin hızının karesiyle orantılı olmasıdır. Bu, düşük hızda atılan bir basketbol topu için muhtemelen hava direncini tamamen göz ardı edebileceğiniz ve yine de oldukça doğru bir hesaplama elde edebileceğiniz anlamına gelir. Ancak, bu destansı atışlarda, top çok hızlı hareket edeceğinden hava direncini göz ardı etmek geçerli değildir.

Sadece bir test olarak, burada her ikisi de aynı başlangıç pozisyonuna ve hıza sahip iki basketbol topunun hesaplanan yörüngesi bulunmaktadır. Toplardan biri sadece aşağı doğru yerçekimi kuvvetine sahiptir (düz mermi hareketi). Diğer top ise hem yerçekimi kuvvetine hem de hava sürükleme kuvvetine sahiptir. Dürüst olacağım: Net kuvvet sabit olmadığından, hava sürüklemeli bir topun hareketini hesaplamak için bazı hileler yapmanız gerekir. Bu durum için Python kullanarak sayısal bir hesaplama yapacağım. İşte hava sürüklemeli ve hava sürüklemesiz arasındaki fark:

Hava direncine sahip topun tam anlamıyla kısa düştüğünü görebilirsiniz – çembere ulaşmasına yaklaşık 8 metre kala. Yani hava direncinin önemli olduğu açıktır.

Topu çembere sokabilmek için oyuncunun fırlatma hızını saniyede 17,7 metreden 22,5’e çıkarması gerekir. Bu çok hızlı: 22,5 m/s saatte yaklaşık 50 mil eder. Ama yine de mümkün.

Hareketi Rastgele Sayılarla Modelleme

Hiç kimse basketbol topunu her atışında tam olarak aynı şekilde fırlatmaz. Bir atışı tam olarak yeniden üretebilseydiniz, hepsi aynı noktadan başladığı için her bir serbest atış atışını yapabilirdiniz. Bunun yerine, insanlarda bazı varyasyonlar vardır.

Diyelim ki bir topu 22,5 m/s hızla fırlattınız. Bir sonraki atışınızda top 22,4 m/s hızla gidiyor olabilir. Ya da belki 22.44. Eğer topu 1000 kez fırlatırsanız, çok çeşitli başlangıç hızları elde edebilirsiniz. Bu ilk hızların varyasyonu muhtemelen normal bir dağılım izleyecektir, yani atışların çoğu 22,5 m/s civarında olacak ve çok düşük veya yüksek hızda sadece birkaç atış olacaktır.

Bu varyasyonların yayılımını, kelimenin tam anlamıyla normal bir dağılım için yayılımın bir ölçüsü olan standart sapma ile karakterize edebiliriz. Normal bir dağılım için, ortalamanın üzerindeki 1 standart sapma değerlerin yüzde 34,1’ini içermelidir. Yani, 22,4 m/s’lik bir ortalamaya ve 1 m/s’lik bir standart sapmaya sahipseniz, 22,4 ila 23,4 m/s arasındaki hız aralığı atışların yüzde 34,1’ini oluşturacaktır.

Grafikli bir örneğe ne dersiniz? Diyelim ki basketbol topu fırlatan iki kişi var; biri son derece yetenekli Steph Curry, diğeri ise daha az yetenekli. Curry profesyonel bir atlettir ve bu nedenle atışlarını daha iyi kontrol edebilmektedir. Başlangıç hızlarının standart sapmasının 0,005 m/s olduğunu varsayalım. Diğer atıcı da aynı ortalama hıza sahip ancak standart sapması 0,01 m/s olan toplar atıyor. Her bir kişi için bu 1.000 atışı alır ve değerlerin bir histogramını oluşturursak, şunu elde ederiz:

Standart sapması 0,01 m/s olan atışların yayılımının, standart sapması 0,005 m/s olan atışlardan daha geniş olduğuna dikkat edin. Ancak bu bizi en önemli soruyla baş başa bırakıyor: Başlangıç hızında ne tür bir standart sapma Curry’nin istediği sonucu, yani arka arkaya beş tam saha atışını verecektir? Gerçekten de, fırlatma hızındaki bir değişikliğin topun son konumu üzerinde nasıl bir etkisi olduğunu görmenin tek yolu bunu modellemektir. (Elbette Python kullanacağım.)

Curry saniyede 0,1 metre standart sapmaya sahip bir başlangıç hızıyla atış yapabilirse ne olur? Peki ya atış açısını da değiştirirse? Başlangıç hızı için bir 3D vektör kullanırsam, yöndeki değişikliği hesaba katmak için hızın üç bileşenini (x, y ve z yönleri) rastgele ayarlayabilirim.

Basketbolda bir şutu sokmanın iki yolu olduğunu belirtmeliyim. Çemberin kenarına çarpabilir ama yine de fileden geçebilir. Ya da topun çapı çemberden daha küçük olduğu için çemberin kenarlarına değmeden fileden geçebilir. (Swoosh!) Top çembere hiç değmeden çemberden geçerse şutu başarılı sayacağım.

İşte bunu 1000 kez yaparsanız olacaklar. (Bunu tavsiye etmiyorum, çünkü çok yorulacaksınız.)

Bu hesaplama, bu simüle atışların 233’ünün çembere çarpmadan çemberden geçtiğini göstermektedir. Ancak bu 0,233’lük bir isabet olasılığı veriyor ve arka arkaya beş atış yapma şansını sadece 0,00069 veya yüzde .069’a çıkarıyor. Bu, özellikle Steph Curry için yeterince iyi değil.

Peki, o zaman fırlatma hızındaki hangi sapma onun arka arkaya beş atış yapmasına yetecek kadar küçük olabilir? Tek atış olasılığını 0,87 olarak kabul edersek, bu da arka arkaya beş atış olasılığını 0,5 olarak verir. Şimdi, 100 üzerinden 87’lik (ya da 1000 üzerinden 870’lik) bir swoosh oranı elde edene kadar ilk atışlardaki sapmayı ayarlamam gerekiyor.

Buradan, tek atışta 0,87’lik bir swoosh olasılığına sahip olmak için Curry’nin topu saniyede sadece 0,034 metrelik bir standart sapma ile atması gerektiğini görebilirsiniz. Bu da atışlarının çoğunun 22,534 ile 22,466 m/s arasında bir hıza sahip olacağı anlamına geliyor.

Bunu gözünüzde canlandırmak biraz zor, o halde bir benzetme yapmaya ne dersiniz? ABD’deki tüm erkeklerin ortalama boyunun 177 cm olduğunu ve standart sapmanın 7,62 cm olduğunu varsayalım. Bu, tüm erkek Amerikalıları ele alırsanız, yüzde 68,2’sinin boyunun 170 cm ila 185,4 cm arasında olacağı anlamına gelir. (Bu, ortalamanın bir standart sapma altı ve bir standart sapma üstüdür.)

Peki ya erkeklerin boylarının dağılımı top hızlarının dağılımı kadar dar olsaydı? Bu durumda boylarının standart sapması sadece 0,254 cm olurdu. Normal bir dağılımla bu, çoğu Amerikalı erkeğin boyunun 177 cm ile 178 cm arasında olacağı anlamına gelirdi – aslında hepsi aynı boyda olurdu. Bu çok garip olurdu.

Bu yüzden Steph Curry’nin bu beş atışı yapması da aynı derecede garip.

Ve evet, bu video gerçek olamayacak kadar iyiydi. Sports Illustrated, Curry’nin insanların bunun doğru olduğuna inanmasının “en büyük iltifat” olduğunu söylediği, ancak bunun bir şaka olduğunu da itiraf ettiği bir basın toplantısına yer verdi. “Yine de iki tane yaptım,” dedi. “Merak eden olursa diye.”

Kaynak: www.wired.com